Kapitel 4

Muster aus sechszackigen Sternen, und abgeschnittenen Sechsecken — In der linken Spalte sehen Sie Einzelteile und deren Konstruktion, oben rechts die Anordnung der Hintergrundobjekte und unten rechts etwas, das aussieht wie das Tiling aus Abbildung 4.0.1.

Kapitel 4

Das beeindruckende Aufmacherbild zu Kapitel 4 lässt sich wie abgebildet konstruieren. Da sich dabei Teile überlappen, hat man aber erstmal ein Muster. Um ein Tiling zu erstellen, muss eine Dekonstruktion erfolgen.

Tiling aus Rechtecken und Tiling aus zerschnittenen Achtecken und Quadraten — Die beiden Tilings aus Abbildung 4.1.2 sind topologisch äquivalent.

Zwei topologisch äquivalente Tilings aus Quadraten und Dreiecken — Abbildung 4.1.3 zeigt ebenfalls zwei topologisch äquivalente Tilings.

Topologische Äquivalenz

Die beiden Tilings in 4.1.2 Abbildung sind topologisch äquivalent: Ein gelbes Tile hat vier Ecken, an jeder der Ecken treffen drei Tiles aufeinander (3⁴). Ein oranges Tile hat sechs Kontaktpunkte, an zweien davon treffen vier Tiles aufeinander, an den anderen lediglich drei (3².4.3².4). Das Verhältnis gelber zu orangen Tiles ist 1:2, jedes gelbe Tile berührt vier orange Tiles, jedes orange Tile vier orange und zwei gelbe.

Auch die Tilings in 4.1.3 sind topologisch äquivalent: Die Ecken der gelben Tiles haben die Valenzen 5⁴, die orangen 5³. Ein Quadrat ist von vier Dreiecken umgeben, ein Dreieck von zwei Quadraten und einem Dreieck.

An ein kantig stilisiertes S erinnerndes Tile und das zugehörige Tiling — Nachbau von Abbildung 4.1.4.a

Das sollen Quadrate sein?

Das S-förmige Gebilde entspricht in dieser Pflasterung topologisch gesehen einem Rechteck oder Quadrat.: An jedem Vertex des Tilings treffen genau vier Tiles aufeinander. Der Nachbau der Zeichnung erfolgte nach Augenmaß und mit Hilfe der Klon-Funktion in Inkscape. Auf den ersten Blick passt es ganz gut.

Tiling aus Quadraten und gleichseitigen Dreiecken, Tiling aus Fünfecken und Überlagerung — Zwei zueinander duale Tilings nach Abbildung 4.2.2

Dualität

Kapitel 4 greift nochmals das Thema Dualität auf. Spannend ist die topologische Äquivalenz zwischen den Tilings in 4.2.1 und 4.2.2. Zur Konstruktion: Ich habe zuerst das Quadrat- und Dreiecks-Tiling gezeichnet, dann mittels Hilfslinien darin ein Fünfeck konstruiert und dieses dann mehrmals kopiert und rotiert.