Tilings and Patterns
Ich beschäftige mich von Zeit zu Zeit mit Branko Grünbaum und G.C. Shephard: Tilings & Patterns, 2nd Ed., Dover Publications, ISBN 978-0-486-46981-2.
Wäre das Buch neueren Datums, gäbe es vermutlich Begleitmaterial zum Download. Da dem nicht so ist, habe ich das eine oder andere selbst erstellt.
Heptiamonds
Insgesamt gibt es 24 Möglichkeiten, sieben gleichseitige Dreiecke Kante-an-Kante und Ecke-an-Ecke zu einer geschlossenen Form (topological disk) zusammenzulegen. Dazu kommen nicht abgebildete Spiegelungen derjenigen Heptiamonds, die nicht spiegelsymmetrisch sind. Die Formen wurden mit Inkscape im Rahmen des Möglichen nach Abbildung 1.2.2 nachgebaut. Die Idee ist, dass Sie die Abbildung in Inkscape (oder anderer geeigneter Software) öffnen, die interessante Form mehrfach kopieren und dann je nach Ihren Neigungen direkt in Inkscape oder ausgedruckt und ausgeschnitten (oder extrudiert und 3D-gedruckt) zusammen puzzeln.
Und hier ist die Challenge aus Aufgabe 1.2.5: Exakt einer der 24 Heptiamonds eignet sich nicht, um eine Fläche mit ihm alleine zu pflastern. Welcher?
Wenn ich das Buch richtig verstanden habe, ist die Verwendung von Spiegelungen erlaubt. Mit den einfarbigen Teilen ist vermutlich besser umzugehen als mit den bunten.
Orangenspalte
Das abgebildete Tile lässt sich nur auf eine einzige Art kombinieren, um die Ebene zu füllen. Die Parkettierung ist in Abbildung 1.3.7 gezeigt, dort finden sich auch die genauen Winkel. Ursprüngliche Quelle ist wohl H. Heesch: Reguläres Parkettierungsproblem. Westdeutscher Verlag 1968.
Grashalm-Spirale
Dieses Tile eignet sich unter anderem dazu, Spiralen zu bilden, die die Ebene komplett füllen. Erst in Vergrößerung konnte ich erkennen, dass die Winkelangaben in Abbildung 1.2.3 nicht mit einer 0 enden, sondern mit einem θ (Theta), also zum Beispiel 4θ statt 40. Hier finden Sie korrekte Winkel. Alle Segmente sind gleich lang.
Definitionen
Ein Versuch, die Definitionen aus Kapitel 1 zusammen zu fassen. Die definierten Begriffe wurden englisch belassen.
- Packing: Füllen einer Ebene ohne Überlappung.
- Density: Anteil von einem Packing bedeckter Fläche.
- Covering: Lückenloses Bedecken einer Fläche.
- Tiling: Lückenloses Füllen einer Ebene, im speziellen Fall mit topological Disks.
- Topological Disk: Fläche, deren Rand eine einzige Kurve bildet, die einfach (ohne Kreuzungen) und geschlossen (endlich) ist.
- Vertex: Ecke, an der mehrere Tiles aufeinandertreffen.
- Valence: Anzahl der Tiles, die an einem Vertex aufeinander treffen. Adjektiv dazu: n-valent.
- Edge: Von mehreren Tiles berührte Kurve zwischen zwei Vertices. Die Kurve kann eine Gerade, eine Kurve oder ein Linienzug sein.
- Corner, Side: Begrenzungen eines Polygons (im Unterschied zu einem Tiling).
- K-gon: Polygon mit k Ecken und Seiten.
- Edge-to-Edge: Corners/Sides sind identisch mit Vertices/Edges.
- Adjacent: Zwei Tiles sind adjacent, wenn sie eine gemeinsame Kante haben.
- Neighbour: Zwei Tiles sind Nachbarn, wenn sie adjacent sind oder wenn sie einen Vertex gemeinsam haben.
- Incident: Beziehung eines Tiles zu seinen Edges und Vertices, auch Beziehung eines Edges zu seinen Endpunkten.
- Equal/the same: zwei Tilings, die durch Skalierung und Verschiebung zur Deckung gebracht werden können.
- Congruent: zwei Tilings, die durch Verschiebung alleine zur Deckung gebracht werden können.
- Patch: ein „Supertile“, eine topological disk, die aus mehreren Tiles zusammengesetzt ist.
- Monohedral: Das Tiling besteht nur aus einer Sorte Tiles. In einer monohedralen Parkettierung ist das zugrunde liegende Tile das Prototile, und es gestattet (admits) die Parkettierung.
- Dihedral/n-hedral: Das Tiling besteht aus zwei/n Sorten Tiles.