Diese Seite ist dem Gedenken an Marjorie Rice gewidmet.

Die Anzahl der Ecken jedes Polygons, die an einem Vertex aufeinander treffen, werden mit Punkten verbunden. Die erhaltene Reihe wird so aufgetrennt, dass die Zahlenfolge mit den kleinst möglichen Werten beginnt. So kann Eindeutigkeit erzielt werden. Weiter im Buch werden Exponenten eingesetzt, um die Folgen zu verkürzen. Aus 3.3.3.3.3.3 wird dann 3⁶. Im Text werden regulären Polygone durch die Zahl der Ecken in geschweiften Klammern angegeben, also zum Beispiel {5} für das regelmäßigen Fünfeck.

In der folgenden Abbildung fehlen die Kombinationen 4.5.20, 3.8.42, 3.7.42, und 3.9.18.

Wenn Teile eines Tilings gegeneinander ausgetauscht oder gedreht werden können, ergeben sich viele unterschiedliche, aber doch ähnliche Parkettierungen. Das gilt auch dann, wenn man sich auf Tilings beschränkt, bei denen Ecken aufeinander treffen.

Archimedische Tilings bestehen nur aus regulären Polygonen. Sie sind zudem monogonal, das heißt, dass alle Vertices den selben Typ aufweisen. Außerdem sind sie isogonal, das heißt, jeder Vertex kann durch einfache Transformationen auf jeden anderen Vertex abgebildet werden. Die Summe der Eigenschaften isogonal und monogonal wird in der entsprechenden Literatur als uniform bezeichnet. Insgesamt gibt es 11 verschiedene, wobei je nach Quelle 3⁴.6 wegen seiner beiden spiegelverkehrten Ausprägungen als zwei unterschiedliche Tilings gewertet wird.

Wenn man bei Parkettierungen mit Bändern darauf verzichtet, Vertex an Vertex auszurichten, ergeben sich unendlich viele Möglichkeiten. Verschiebt man die Bänder nach einem regelmäßigen Verfahren, können sie mit einem verschobenen Abbild zur Deckung gebracht werden.

Unterschiedlich große Dreiecke lassen sich auf verschiedene Arten kombinieren. In der statischen Abbildung sind die Seitenverhältnisse festgelegt, in der dynamischen Variante variabel. Auch Dreiecke und Sechsecke bilden Parkettierungen, wenn die Größe des Dreiecks frei gewählt wird.

Aus zwei Quadraten unterschiedlicher Größe lässt sich genau eine Art von uniformem Muster bilden (Abbildung 2.4.2 g). Aus Quadraten dreier Größen lassen sich nur uniforme Muster bilden, wenn die Summe der Seitenlängen der kleineren Quadrate gleich der Seitenlänge des größten ist. Dabei ergeben sich fünf verschiedene Anordnungen (Das Buch verweist in der Legende zu Abbildung 2.4.5 auf Doris Schattschneider). 

Bei Quadraten mit vier unterschiedlichen Quadraten ergeben sich bei festen Seitenverhältnissen unterschiedliche Anordnungen. Doris Schattauer hat auch die Grundlagen zu Abbildung 2.4.6 geliefert.

Sterne alleine ergeben kein Tiling, mit regelmäßigen Polygonen zusammen ergeben sich viele Möglichkeiten. Regelmäßige Sterne sind Sterne, die die selben Symmetrien aufweisen wie die zugrunde liegenden regelmäßigen Vielecke. Je nach Tiefe der Einschnitte ergeben sich unendlich viele Möglichkeiten, regelmäßige Sterne zu erzeugen. Im Buch werden diese Sterne als n-akel bezeichnet, zum Beispiel Pentakel für den fünfzackigen Stern.

Wenn man an einem Eck eines Polygons einen Linienzug beginnt und dabei jedes n-te Eck überspringt, kann man ebenfalls regelmäßige Sterne erhalten. Im Unterschied zu Sternen, die man durch »Einstülpen« eines Polygons konstruiert, haben sie an den Kehlen keine Ecken, dort sind nur Kreuzungspunkte von Linien. Diese Sterne kann man (analog zum Pentagramm) dann zum Beispiel Heptagramm oder Nonagramm nennen. n-gramme werden im Buch in geschweiften Klammern notiert, die erste Zahl nennt die Anzahl der Ecken des zugrunde liegenden Vielecks, darauf folgt ein Schrägstrich und die zweite Zahl, die angibt, das wie vielte Eck als nächstes angesteuert wird. Voraussetzung dafür, dass man mit einem einzigen Linienzug jede Ecke erreicht, ist, dass die Anzahl der Ecken und die Anzahl, die bei jedem Schritt übersprungen wird, teilerfremd sind. In den ausgeführten Beispielen ist {9/3} nicht in einem Linienzug ausführbar, dadurch erhält man drei übereinander liegende Dreiecke. Mehr als  die Hälfte der Ecken zu überspringen, ergibt keinen Sinn: {5/2} und {5/3} ergeben jeweils die selbe Figur, obwohl einmal jedes zweite und einmal jedes dritte Eck angesprungen wurde. Der Linienzug erhält dadurch lediglich eine andere Richtung. Für n-akel, die die selben Winkel aufweisen wie entsprechende n-gramme (aber eben zusätzliche Ecken in den Kehlen haben) wird als Notation |n/d| verwendet, also zwischen zwei vertikalen Balken die Anzahl der Spitzen, ein Schrägstrich und die Nummer der Ecke, die bei der Konstruktion eines deckungsgleichen n-grammes als nächste gewählt worden wäre. |5/2| ist also deckungsgleich zu {5/2}, hat aber Ecken in den Kehlen.

Auch die Nomenklatur von Vertices wird für die Sterne erweitert: Die Spitze eines Sternes erhält hochgestellt ein Sternchen, die Kehle zwei Sternchen. Als Subskript wird der Winkel an der Spitze angefügt, und zwar in Radians. 8^*_π/4 ist also ein achtzackiger Stern mit 45°-Winkeln an den Spitzen. Kann der Winkel innerhalb gewisser Grenzen frei bestimmt werden, wird ein α (Alpha) verwendet und an anderer Stelle angegeben, in welchem Bereich der Winkel liegen darf.

Die Abbildung nach 2.5.3 zeigt Tilings, in denen jede Ecke eines Polygons/Sternes auch gleichzeitig ein Vertex des Tilings ist. Der Winkel kann in gewissen Grenzen frei gewählt werden. Nach den Abbildungen folgt ein interaktives Werkzeug. Tilings nach 2.5.4 funktionieren nur mit den abgebildeten Winkeln.

Tilings & Patterns zeigt als Aufmacher von Kapitel 2 ein Muster aus Fünfecken, Zehnecken, »verschmolzenen« Zehnecken und fünfzackigen Sternen, das auf Johannes Kepler zurückgeht. Hier ist der Patch, aus dem Sie das Muster nachbauen können.

Auf den ersten Blick ist die Abbildung im falschen Kapitel, schließlich überschneiden sich hier Elemente; aber es stimmt dann doch, da es um Dissection Tilings geht. Das mit rotem Rand angedeutete Quadrat lässt sich wie durch die Linien angedeutet zerschneiden und in zwei kleinere Quadrate zusammensetzen (mittlere Abbildung). 

Die rechte Abbildung zeigt dann einen Beweis des Satzes von Pythagoras: 

• Das orange gefärbte Dreieck ist rechtwinklig (der Winkel zwischen den Katheten ist eine Ecke des blauen Quadrates).
• Die Katheten bestehen aus Seiten der beiden kleineren Quadrate.
• Die Hypotenuse ist eine Seite des rot umrandeten Quadrates.
• Die Flächen der beiden kleinen Quadrate lassen sich zerlegen und sich zum großen Quadrat addieren.

Laut Aufgabe 2.6.1 wurde dieser Beweis um das Jahr 900 von Annairizi entwickelt.

Noch kurz zur Konstruktion in Inkscape: Zuerst wurde ein Tiling aus kleinen und großen Quadraten analog zu 2.4.2 (g) gebildet. Dann habe ich das Tiling so gedreht, dass eine Reihe kleiner Quadrate in eine waagrechte Reihe kam. Zwei benachbarte Spitzen habe ich mit horizontaler und vertikalen Hilfslinien versehen und auf diesen ein Quadrat aufgezogen. Für das Puzzle habe ich Quadrate in Pfade umgewandelt, Pfad zerschneiden verwendet und die zerschnittenen Pfade mit dem Knotenwerkzeug geschlossen. Nachzeichnen wäre selbstverständlich auch eine Option gewesen.

Ein Quadrant eines Zwölfecks kann so zerschnitten und angeordnet werden, dass ¾ der Fläche des umgebenden Quadrates ausgefüllt werden. Damit ergibt sich die Fläche im Verhältnis zum Quadrat und – falls der Umkreis des Zwölfecks eingezeichnet wäre, auch im Verhältnis zur Fläche des Umkreises.

Laves-Tilings sind nach dem Mineralogen Fritz Laves benannt. In diesen Parkettierungen sind an jedem Vertex alle Winkel gleich (das heißt nicht, dass alle Winkel an allen Vertices gleich sind). Das trifft zunächst auf alle Parkettierungen, die nur aus regelmäßigen Sechsecken, Quadraten oder gleichseitigen Dreiecken bestehen, zu. Darüber hinaus gibt es aber noch weitere Formen, die sich zu Laves-Tilings kombinieren lassen. Insgesamt gibt es elf unterschiedliche Laves-Parkettierungen – nicht zufällig gleich viele wie archimedische, denn Laves-Tilings sind zu den archimedischen dual. Die Dualität geht so weit, dass es zum enantiomorphen archimedischen Tiling auch ein entsprechendes Laves-Tiling gibt: die »Blume«.

Für die Nomenklatur gilt: Es werden die Vertices eines Tiles beschrieben. In eckigen Klammern stehen für jede Ecke die Anzahl der Tiles, die sich an einer Ecke treffen. Die Sortierung und Exponenten sind wie bei archimedischen Tilings geregelt. Bei der »Blume« treffen sich an den Ecken jedes Blütenblattes vier mal drei Tiles, am fünften sechs Tiles, das ergibt [3⁴.6], bei den »Schindeln« sind es dreimal drei und zweimal vier, also [3³.4²] und so weiter.

In der zweiten Abbildung wird ein Laves-Tiling vom zugehörigen archimedischen Tiling überlagert. Vertices bilden Zentroiden, Kanten schneiden sich im rechten Winkel.