Kapitel 2

Reguläre Polygone mit jeweils gleicher Seitenlänge — Reguläre Polygone mit gleich langen Seiten als Konstruktionshilfe für das, was folgt.

Parkettierungen aus Polygonen und Sternen

Es war überraschend schwierig, reguläre Polygone mit gleicher Seitenlänge zu erstellen.

Ecken, an denen reguläre Polygone aufeinander treffen — Insgesamt gibt es 21 Möglichkeiten, reguläre Polygone an einem Vertex aufeinander treffen zu lassen. Die meisten sind hier abgebildet. Die eingefärbten Skizzen sind verkleinert.

Nomenklatur

Die Anzahl der Ecken jedes Polygons, die an einem Vertex aufeinander treffen, werden mit Punkten verbunden. Die erhaltene Reihe wird so aufgetrennt, dass die Zahlenfolge mit den kleinst möglichen Werten beginnt. So kann Eindeutigkeit erzielt werden. Weiter im Buch werden Exponenten eingesetzt, um die Folgen zu verkürzen. Aus 3.3.3.3.3.3 wird dann 3⁶.

In der folgenden Abbildung fehlen die Kombinationen 4.5.20, 3.8.42, 3.7.42, und 3.9.18.

Bänder aus Sechsecken und Dreiecken und deren Kombination — Auch wenn man sich auf das Zusammentreffen von Ecken beschränkt, gibt es für bandförmige Muster mehrere Kombinationsmöglichkeiten (nach Abbildung 2.1.2).

Gestufte Bänder aus Quadraten und Dreiecken. — Quadrate und Rechtecke können auf zwei Arten "Treppen" bilden, die sich zusammensetzen lassen (Nach Abbildung 2.1.3).

Scheiben aus 3-, 4- und Sechsecken — Die beige dargestellten Scheiben können im 3.4.6-Muster beliebig substituiert werden, dadurch ergeben sich entsprechend unendlich viele Möglichkeiten für Parkettierungen (nach Abbildung 2.1.4)

Baukasten-Tilings

Wenn Teile eines Tilings gegeneinander ausgetauscht oder gedreht werden können, ergeben sich viele unterschiedliche, aber doch ähnliche Parkettierungen. Das gilt auch dann, wenn man sich auf Tilings beschränkt, bei denen Ecken aufeinander treffen.

Die elf Parkettierungen, bei denen nur regelmäßige Polygone verwendet werden und alle Vertices gleichartig sind. — Die archimedischen Parkettierungen. Alle Vertices sind gleichartig, alle Tiles sind regelmäßige Polygone.

Archimedische Tilings

Archimedische Tilings bestehen nur aus regulären Polygonen. Sie sind zudem monogonal, das heißt, dass alle Vertices den selben Typ aufweisen. Außerdem sind sie isogonal, das heißt, jeder Vertex kann durch einfache Transformationen auf jeden anderen Vertex abgebildet werden. Die Summe der Eigenschaften isogonal und monogonal wird in der entsprechenden Literatur als uniform bezeichnet. Insgesamt gibt es 11 verschiedene, wobei je nach Quelle 3⁴.6 wegen seiner beiden spiegelverkehrten Ausprägungen als zwei unterschiedliche Tilings gewertet wird.

k-uniforme Tilings

Ein k-uniformes Tiling besteht aus regelmäßigen Vielecken. Im Unterschied zum archimedischen Tiling gibt es nicht nur einen, sondern k Typen von Vertices. Es ist k-isogonal. Grundlagenarbeit wurde wohl von Otto Krötenheerdt Ende der 1960er Jahre geleistet. Abbildung 2.2.1 zeigt die 20 möglichen 2-uniformen Tilings.