Insgesamt gibt es 24 Möglichkeiten, sieben gleichseitige Dreiecke Kante-an-Kante und Ecke-an-Ecke zu einer geschlossenen Form (topological disk) zusammenzulegen. Dazu kommen nicht abgebildete Spiegelungen derjenigen Heptiamonds, die nicht spiegelsymmetrisch sind. 

Hier ist die Challenge aus Aufgabe 1.2.5: Exakt einer der 24 Heptiamonds eignet sich nicht, um eine Fläche mit ihm alleine zu pflastern. Welcher?

Wenn ich das Buch richtig verstanden habe, ist die Verwendung von Spiegelungen erlaubt. Mit den einfarbigen Teilen ist vermutlich besser umzugehen als mit den bunten, die vor allem den Aufbau der Teile zeigen.

Dieses Tile eignet sich unter anderem dazu, Spiralen zu bilden, die die Ebene komplett füllen. Erst in Vergrößerung konnte ich erkennen, dass die Winkelangaben in Abbildung 1.2.3 nicht mit einer 0 enden, sondern mit einem θ (Theta), also zum Beispiel 4θ statt 40. Hier finden Sie korrekte Winkel. Alle Segmente sind gleich lang.

Die Aufgaben zu Kapitel 1.2 nennen Kriterien, mit denen Elemente monohedrischer Tilings erkannt werden können. Ich habe nur Formen reproduziert, die ich einigermaßen exakt nachbilden konnte. Bei Polyominos habe ich mich für die reinen Umrisse entschieden. Die Aufgabe zu den Abbildungen ist, mit jeder Form jeweils eine Ebene zu parkettieren.

Abbildung 1.3.5 dient eigentlich zur Erläuterung von Periodenparallelogrammen. Ich beschränke mich hier auf das Tiling, das mich an ein Geflecht erinnert.

Das abgebildete Tile lässt sich nur auf eine einzige Art kombinieren, um die Ebene zu füllen. Die Parkettierung ist in Abbildung 1.3.7 gezeigt, dort finden sich auch die genauen Winkel. Ursprüngliche Quelle ist wohl H. Heesch: Reguläres Parkettierungsproblem. Westdeutscher Verlag 1968.

Aus diesen Tiles lässt sich nur auf eine Art eine Parkettierung bilden. Beim Quadrat und Dreieck wurden zu diesem Zweck Zacken eingefügt, das Viereck ist völlig unsymmetrisch, beim Sechseck sind nur je zwei parallele Seiten gleich lang und ein Teil der anderen Tiles wird auch in anderen Abbildungen verwendet.

Wie viele Tilings möglich sind, hängt von der Form der Tiles ab. Hier Beispiele für Tiles, die genau zwei Tilings ermöglichen.

Basis für das Prototile (mich erinnert es an ein Ampelmännchen) ist ein Quadrat, auf dem ein gleichwinkliges rechtwinkliges Dreieck sitzt. Die Zähne der drei großen Seiten sind rotationssymmetrisch und jeweils gleich, ebenso die der beiden kleinen Seiten. Es gestattet drei unterschiedliche Parkettierungen. Bei den ersten beiden Parkettierungen unterscheidet sich der Verlauf rechts vom markierten Tile.

Mit regelmäßigen Fünfecken lässt sich keine Ebene pflastern. In Kombination mit passenden Rauten (Winkel 144 und 36 Grad, gleiche Seitenlänge wie das Fünfeck) ergeben sich viele Möglichkeiten.